Konstrukce logaritmické osy

Při grafických řešení obvodů se většinou používají milimetrové papíry. Pokud se ale některá veličina mění ve velkém rozsahu, není lineární stupnice vhodná, jako např. při zobrazování kmitočtových charakteristik zesilovačů.

Pokud je vodorovná osa logaritmická a svislá osa lineární, hovoříme o semilogaritmickém papíru.

Logaritmickým papírem nazýváme papír, který má obě osy (vodorovnou i svislou) logaritmické. Tento papír se používá pro zobrazování kmitočtových charakteristik dvojbranů.

 

Konstrukce logaritmické osy

Při konstrukci logaritmické osy se délka osy podělí potřebným počtem dekád "a" a takto získaná velikost základního modulu  se zaokrouhlí směrem dolů. Výpočet se provede jen pro jednu dekádu, poněvadž u všech dekád jsou vzdálenosti čísel vzhledem k počátku modulu shodné. Vzdálenost jednotlivých číslic vzhledem k počátku modulu se vypočítají podle vzorce:

m = a.log f

kde: "m"  značí vzdálenost jednotlivých číslic vzhledem k počátku dekády [mm]

       "f"   značí číslo, které budeme logaritmovat, tj. kmitočet

       "a"   značí délku dekády [mm]

       "log" je logaritmická funkce

Pozn: čáry se ke konci modulu zhušťují, trojka je zhruba uprostřed modulu (platí  m = a. log 3 = a. 0,48)

Příklad konkrétní konstrukce logaritmické osy - graf kmitočtové charakteristiky zesilovače

Zadání:

Změřte kmitočtovou charakteristiku nízkofrekvenčního zesilovače.

Návrh grafu:

Na svislou - lineární-osu naneste zesílení Au [dB],  na vodorovnou - logaritmickou-osu naneste kmitočet f [Hz]. Konstrukci grafu proveďte na papír formátu A4.

Pro měření zvolte tyto kmitočty f [Hz]:

20 Hz, 30 Hz, 40 Hz, 100 Hz, 200 Hz, 500 Hz, 1000 Hz, 5000  Hz, 8000 Hz, 10000 Hz, 12000 Hz, 14000 Hz, 16000 Hz, 18000 Hz, 20000 Hz, 22000 Hz.
Návrh:
Při návrhu grafu vycházíme z tabulky naměřených hodnot (viz dále).

 

Stanovení velikosti vodorovné osy (logaritmické)

Na vodorovnou osu nanášíme hodnoty kmitočtu f [Hz].

Do celkové délky vodorovné osy se musí vejít tento počet dekád "a", to znamená konkrétně tyto dekády:

1. dekáda: představuje rozsah 10 - 100, tj. 20 Hz, 30 Hz, 40 Hz
1. dekáda

 





 2. dekáda: představuje rozsah 100 - 1 000, tj.100 Hz, 200 Hz, 500 Hz
2. dekáda

 




3. dekáda: představuje rozsah 1 000 - 10 000, tj.1000 Hz, 5000 Hz, 8000 Hz
3. dekáda

 




4. dekáda: představuje rozsah 10 000 - 100 000, tj.10000 Hz, 12000 Hz, 14000 Hz, 16000 Hz, 18000 Hz, 20000 Hz,       22000 Hz.
4. dekáda






Výpočet
vzdálenost jednotlivých číslic vzhledem k počátku dekády


Příklad výpočtu vzdálenosti jednotlivých číslicPři konkrétním výpočtu vzdálenosti jednotlivých číslic postupujeme dle vzorce m = a.log f  (f  bude vždy v rozmezí čísel 1 až 10)

Příklad (výsledky "m" zaokrouhlujeme na celé milimetry):

délka modulu "a" je 71 mm

zadaný kmitočet f je 20 Hz

výpočet: m = 71.log2 = 71.0,30 = 21 mm

Tuto vzdálenost měříme od začátku osy (viz obr. vpravo)


délka modulu "a" je 71 mm

zadaný kmitočet f je 30 Hz

výpočet: m = 71.log3 = 71.0,47 = 34 mm

Tuto vzdálenost měříme od začátku osy (viz obr. vpravo).


 

Tabulka naměřených hodnot

f  [Hz]

U1 [V] U2 [V] Au [dB]  

f  [Hz]

U1 [V] U2 [V] Au [dB]
20 0,01 0,20 26,0   8000 0,01 0,50 34,0
30 0,01 0,23 27,2   10000 0,01 0,50 34,0
40 0,01 0,23 27,2   12000 0,01 0,43 32,7
100 0,01 0,29 29,2   14000 0,01 0,38 31,6
200 0,01 0,32 30,1   16000 0,01 0,30 29,5
500 0,01 0,33 30,4   18000 0,01 0,25 28,0
1000 0,01 0,50 34,0   20000 0,01 0,20 26,0
5000 0,01 0,50 34,0   22000 0,01 0,10 20,0

Z uvedeného výčtu dekád je patrné, že potřebujeme celkem 4 dekády - tím dojde k pokrytí požadovaným měřícím kmitočtovým rozsahem 20 Hz až 22000Hz.

Umístění grafu na list papíru


Rozvaha umístění grafu na list papíru formátu A4
Při rozvaze umístění grafu na list papíru vycházíme z jeho fyzických rozměrů (nejběžnější A4 = 210 x 297 mm). Z estetického hlediska zvolíme umístění grafu do rámečku, který je vložen do listu papíru 10 mm od okrajů. Konce os grafu umístíme asi 10-20 mm od rámečku.

Určení konkrétní velikosti vodorovné osy:
délka listu papíru (v mm):
297 - 20 (rámeček 10+10 mm) - 40 (konce os 20+20 mm) = 237 mm



počet dekád "a" čtyři, jedna dekáda (v mm):                                    237 : 4 = 59 mm
(zaokrouhleno dolů).

    Z "Tabulky naměřených hodnot" a obrázku 4. dekády ale vyplývá, že poslední (čtvrtá) dekáda bude využitá v délce 20 mm (m= 59. log 2,2 = 20 mm). Je proto možné zvětšit velikost 1., 2. a 3. dekády o zbytek, který zůstává ze 4. dekády, tj. o 39 mm (59 mm - 20 mm = 39 mm) takto Tím vyjde celková velikost vodorovné osy takto:
rozdělení zbytku 4. dekády pro 1. až 3. dekádu (3 dekády)           39 mm : 3 (3 dekády) = 13 mm

1. dekáda : 72 mm                                                                        59 mm + 13 mm = 72 mm
2. dekáda : 72 mm                                                                        59 mm + 13 mm = 72 mm
3. dekáda : 72 mm                                                                        59 mm + 13 mm = 72 mm
4. dekáda (neúplná)                                                                      20 mm


Kontrola celkové délky osy: 72+72+72+20=236 mm.
(viz výše - Určení konkrétní velikosti vodorovné osy: 237 mm).
Rozdíl jednoho milimetru (236 mm, 237 mm) je způsoben postupným zaokrouhlováním dílčích výsledků.


Závěr

 1. až 3. dekáda bude mít délku 72 mm, 4. dekáda bude neúplná (jen do 22 000 Hz) a tudíž bude mít délku jen 20 mm

Stanovení velikosti svislé osy (lineární)

 

Na svislou lineární osu nanášíme hodnoty napěťového zesílení Au [dB].

Do celkové délky svislé osy se musí vejít celý rozsah napěťového zesílení "Au" - viz "Tabulka naměřených hodnot".

Při konstrukci grafu vycházíme z obecných výše uvedených zásad "Umístění grafu na listu papíru", první odstavec.

Určení konkrétní velikosti (výšky) svislé osy:
výška listu papíru (v mm): 210 - 20 (rámeček 10+10mm) - 40 (horní konec osy 40mm pod rámečkem) = 150 mm

 

Rozsah krajních hodnot napěťového zesílení "Au" (z "Tabulky naměřených hodnot")
Nejnižší hodnota:    20 dB
Nejvyšší hodnota:   34 dB
Rozsah zobrazovaných hodnot zesílení (v dB):                                         34 - 20 = 14

Velikost (výška) svislé osy:    150 mm

Od výšky svislé osy ještě navíc odečteme z každé strany (ze spodu a z vrchu) 5 mm, takže na rozsah zobrazovaných hodnot zůstává čistá velikost (výška) svislé osy 140 mm                                 150-5-5=140 mm

Velikost 1 dB odpovídá rozměru 10 mm na svislé ose                             140 : 14 = 10 mm

 

Příklad:
Na svislou osu začínáme nanášet hodnoty napěťového zesílení "Au" takto:

Nejnižší hodnotu zesílení 20 dB naneseme na osu jako první 5 mm nad počátkem soustavy souřadnic grafu (tj. nad bodem, kde se osy "f"a "Au" protínají) a dál pokračujeme dle "Au" z "Tabulky naměřených hodnot" s tím, co bylo uvedeno - hodnotě 1 dB odpovídá výška 10 mm na svislé ose.


Další hodnota zesílení, 26 dB, bude 60 mm nad hodnotou 20 dB (26 - 20 = 6 dB, hodnota 6 dB odpovídá výšce 
6.10 =60 mm). 


Další hodnota "Au" z "Tabulky naměřených hodnot" v pořadí je 27,2 dB. Postup je stejný - rozdíl hodnot zesílení činí 7,2 dB
(27,2 - 20 = 7,2 dB). Hodnotě 1 dB odpovídá výška 10 mm na svislé ose, takže výška bodu na ose bude pro Au=27,2 dB 72 mm (10 .7,2=72 mm).

Kontrola celkové délky svislé osy: rozsah zobrazovaných hodnot zesílení krát velikost 1dB        14.10 mm=140 mm
(viz výše - velikost ( výška) svislé osy 140 mm 

 


Závěr

Tento postup výpočtu a následující konstrukci logaritmické osy je možné aplikovat pro libovolný formát listu papíru.


 

ZPĚT NA MĚŘENÍ